《几何原本》命题1.45【夸克欧氏几何】
命题1.45:
(资料图)
可用已知角建立一个平行四边形使其等于已知多边形
已知:多边形ABCD,∠E
求:用∠E建一平行四边形使其等于多边形ABCD
解:
连接BD
(公设1.1)
建▱KFGH,使S▱KFGH=S△ABD,∠K=∠E
(命题1.42)
在线段GH上作▱GHML,使S▱GHML=S△BCD,∠GHM=∠E
(命题1.44)
证明:四边形KFLM是平行四边形,且S▱KFLM=S多边形ABCD
证:
∵∠K=∠E,∠GHM=∠E
(已知)
∴∠HKF=∠GHM
(公理1.1)
∴∠K+∠KHG=∠GHM+∠KHG
(公理1.2)
∵▱KFGH中,KF∥GH
(定义1.22)
∴∠K+∠KHG=两直角
(命题1.29)
∴∠GHM+∠KHG=两直角
(公理1.1)
∴KH,HM在同一直线上
(命题1.14)
∵▱KFGH中,KM∥FG
(定义1.22)
∴∠MHG=∠HGF
(命题1.29)
∴∠MHG+∠HGL=∠HGF+∠HGL
(公理1.2)
∵▱GHML中,GL∥HM
(定义1.22)
∴∠MHG+∠HGL=两直角
(命题1.29)
∴∠HGF+∠HGL=两直角
(公理1.1)
∴FG,GJ在同一直线上
(命题1.14)
∵KF∥GH,GH∥ML
(定义1.22)
∴KF∥ML
(命题1.30)
∵KM∥FL
(已知)
∴四边形KFLM是平行四边形
(定义1.22)
∵S▱KFGH=S△ABD,S▱GHML=S△BCD
(已知)
∴S▱KFGH+S▱GHML=S△ABD+S△BCD
即S▱KFLM=S多边形ABCD
(公理1.2)
证毕
此命题在本卷中未被使用
PS:用这种方法,任何直线形都可以被转换成一个平行四边形,这是一个求不规则直线形面积的好方法
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